Práctica 8 ejercicio 17

EJERCICIO 17:Considere la función $\text{ln}(1+x)$. ¿De qué grado hay que tomar el polinomio de Taylor en $x=0$
para poder calcular $\text{ln}(1,5)$ con un error menor que 0,001?

Solución: Veamos primero como es la derivada $n$-ésima de $f$:
\begin{eqnarray*}
f'(x)& = & \dfrac{1}{1+x}\\
f''(x)& = & -\dfrac{1}{(1+x)^2}\\
f'''(x)& = & \dfrac{2}{(1+x)^3}\\
f^{(4)}(x)& = & -\dfrac{2\cdot 3}{(1+x)^4}\\
& \vdots &\\
f^{(n)}(x)& = & (-1)^{(n+1)}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\\
\end{eqnarray*}

La expresión del resto de orden $n$ es:
$$R_n(x) = f^{(n+1)}(c)\dfrac{x^{(n+1)}}{(n+1)!} = (-1)^{(n+2)}\dfrac{n!}{(1+c)^{(n+1)}} \dfrac{x^{(n+1)}}{(n+1)!} $$

Como $(n+1)!= (n+1)\cdot n!$, podemos simplificar:
$$R_n(x) = \dfrac{(-1)^{(n+2)}}{(1+c)^{(n+1)}} \dfrac{x^{(n+1)}}{n+1} $$

Para calcular $\text{ln}(1,5)$ debemos evaluar lafunción en $x=0.5$ ya que $f(0.5)=\text{ln}(1+0.5)=\text{ln}(1.5)$. Por lo tanto el error es:

$$\text{error}= \left| R_n(0.5) \right| = \left| \dfrac{(-1)^{(n+2)}}{(1+c)^{(n+1)}} \dfrac{0.5^{(n+1)}}{n+1} \right|=
\dfrac{1}{(1+c)^{(n+1)}} \dfrac{0.5^{(n+1)}}{n+1} $$

con $c\in (0;0.5)$. El error mas grande se dará cuando el denominador sea lo mas chico posible, por lo tanto podemos acotar $\dfrac{1}{(1+c)^{(n+1)}}$ por $1$ (cuando $c$ es igual a 0).

$$\text{error} < \dfrac{0.5^{(n+1)}}{n+1} $$

Ahora probamos con varios valores de $n$ hasta que el error dé menor a 0,001.

Para $n=6$:
$$\text{error} < \dfrac{0.5^{(6+1)}}{6+1} \approx 0,00111$$

Para $n=7$:
$$\text{error} < \dfrac{0.5^{(7+1)}}{7+1}\approx 0,000488 $$

Por lo tanto debemos tomar el polinomio de Taylor de orden 7.