Práctica 8 ejercicio 1

EJERCICIO 1: Considere la función $f (x) = \text{ln}(x +1)$. Encuentre un polinomio $P(x)$ de grado 3 tal que $P(0) = f (0)$ , $P'(0) = f '(0)$ , $P''(0) = f ''(0)$ , $P'''(0) = f'''(0)$ .

Solución: el único polinomio que cumple lo pedido es el polinomio de Taylor de orden 3 en $x=0$, es decir, $P$ es el siguiente polinomio:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3$$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ y $f'''(0)$. Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\text{ln}(x +1) &\longrightarrow& f(0)&=& 0 \\
f'(x)&=& \dfrac{1}{x+1} &\longrightarrow&f'(0)&=&1\\
f''(x)&=& -\dfrac{1}{(x+1)^2} &\longrightarrow&f''(0)&=&-1\\
f'''(x)&=& \dfrac{2}{(x+1)^3} &\longrightarrow&f'''(0)&=&2
\end{eqnarray*}

Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 0 + \dfrac{1}{1!}x +\dfrac{-1}{2!}x^2 + \dfrac{2}{3!}x^3$$
$$\boxed{P(x)= x -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3}$$