Práctica 8 ejercicio 11a

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso.

(a) $e^x =1+ x+ \dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!} + R_4(x)$

Solución: se puede deducir fácilmente que la suma de los primeros términos es el polinomio de Taylor de $e^x$ de orden 4 en $x=0$. La expresión del resto de orden 4 será:
$$R_4(x) = \dfrac{f^{(5)}(c)x^5}{5!}$$
donde $f^{(5)}(c)$ es la derivada quinta de la función $f(x)=e^x$ evaluada en $c$ y $c$ es un valor (desconocido) que está entre $x$ y 0 (este es nuestro $x_0$).

Como la derivada quinta de $e^x$ también es $e^x$ entonces la expresión del resto queda:

$$\boxed{ R_4(x) = \dfrac{e^c x^5}{5!}} $$