Práctica 8 ejercicio 11b

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso.

(b) $\dfrac{1}{1-x} =1+ x+ x^2+x^3+x^4+x^5 + R_5(x)$

Solución: se puede deducir fácilmente que la suma de los primeros términos es el polinomio de Taylor de $\dfrac{1}{1-x}$ de orden 5 en $x=0$. La expresión del resto de orden 5 será:
$$R_5(x) = \dfrac{f^{(6)}(c)x^6}{6!}$$
donde $f^{(6)}(c)$ es la derivada sexta de la función $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ evaluada en $c$ y $c$ es un valor (desconocido) que está entre $x$ y 0 (este es nuestro $x_0$).

Las derivadas de $\dfrac{1}{1-x}$ son:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \dfrac{1}{1-x} & = & (1-x)^{-1} \\
f'(x)&=& (-1)(1-x)^{-2}(-1) &= & (1-x)^{-2}\\
f''(x)&=& (-2)(1-x)^{-3}(-1) &= &2(1-x)^{-3}\\
f'''(x)&=& 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) &= & 3!(1-x)^{-4}\\
f^{(4)}(x)&=& 3!(-4)(1-x)^{-5}(-1) &= & 4!(1-x)^{-5}\\
f^{(5)}(x)&=& 4!(-5)(1-x)^{-6}(-1) &= & 5!(1-x)^{-6}\\
f^{(6)}(x)&=& 5!(-6)(1-x)^{-7}(-1) &= & 6!(1-x)^{-7}
\end{eqnarray*}

Como la derivada sexta de $\dfrac{1}{1-x}$ es $\dfrac{6!}{(1-x)^7}$ entonces la expresión del resto de orden 5 es:

$$R_5(x) = \dfrac{\cancel{6!}x^6}{(1-c)^7\cancel{6!}} $$

$$\boxed{ R_5(x) = \dfrac{x^6}{(1-c)^7} } $$