Práctica 8 ejercicio 11c

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso.

(c) $\sen(x) = x -\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!} + R_5(x)$

Solución: se puede deducir fácilmente que la suma de los primeros términos es el polinomio de Taylor de $\sen(x)$ de orden 5 en $x=0$. La expresión del resto de orden 5 será:
$$R_5(x) = \dfrac{f^{(6)}(c)x^6}{6!}$$
donde $f^{(6)}(c)$ es la derivada sexta de la función $f(x)=\sen(x)$ evaluada en $c$ y $c$ es un valor (desconocido) que está entre $x$ y 0 (este es nuestro $x_0$).

Las derivadas de $\sen(x)$ son:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \sen(x) \\
f'(x)&=& \cos(x)\\
f''(x)&=& -\sen(x)\\
f'''(x)&=& -\cos(x)\\
f^{(4)}(x)&=& \sen(x)\\
f^{(5)}(x)&=& \cos(x)\\
f^{(6)}(x)&=& -\sen(x)
\end{eqnarray*}

Como la derivada sexta de $\sen(x)$ es $-\sen(x)$ entonces la expresión del resto de orden 5 es:

$$\boxed{ R_5(x) = \dfrac{-\sen(c) x^6}{ 6!} } $$