Práctica 8 ejercicio 11d

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso.

(d) $\sen(x) = x -\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!} + R_6(x)$

Solución: los primeros términos son iguales al los del ejercicio anterior pero ahora el resto es de orden 6. Efectivamente, como la derivada sexta de $\sen(x)$ evaluada en $x=0$ es 0 entonces el polinomio de Taylor de $\sen(x)$ de orden 5 coincide con el polinomio de Taylor de orden 6. La expresión del resto de orden 6 será:
$$R_6(x) = \dfrac{f^{(7)}(c)x^7}{7!}$$
donde $f^{(7)}(c)$ es la derivada séptima de la función $f(x)=\sen(x)$ evaluada en $c$ y $c$ es un valor (desconocido) que está entre $x$ y 0 (este es nuestro $x_0$).

Las derivadas de $\sen(x)$ son:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \sen(x) \\
f'(x)&=& \cos(x)\\
f''(x)&=& -\sen(x)\\
f'''(x)&=& -\cos(x)\\
f^{(4)}(x)&=& \sen(x)\\
f^{(5)}(x)&=& \cos(x)\\
f^{(6)}(x)&=& -\sen(x) \\
f^{(7)}(x)&=& -\cos(x)
\end{eqnarray*}

Como la derivada séptima de $\sen(x)$ es $-\cos(x)$ entonces la expresión del resto de orden 6 es:

$$\boxed{ R_6(x) = \dfrac{-\cos(c) x^7}{ 7!} } $$