Práctica 8 ejercicio 11e

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso.

(e) $\mathbb{ln}(x) = (x-1) -\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{3}(x-1)^3 + R_3(x)$

Solución: se puede deducir fácilmente que la suma de los primeros términos es el polinomio de Taylor de $\mathbb{ln}(x)$ de orden 3 en $x=1$. La expresión del resto de orden 3 será:
$$R_3(x) = \dfrac{f^{(4)}(c)(x-1)^4}{4!}$$
donde $f^{(4)}(c)$ es la derivada cuarta de la función $f(x)=\mathbb{ln}(x)$ evaluada en $c$ y $c$ es un valor (desconocido) que está entre $x$ y 1 (este es nuestro $x_0$).

Las derivadas de $\mathbb{ln}(x)$ son:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \mathbb{ln}(x) \\
f'(x)&=& x^{-1} &=& \dfrac{1}{x}\\
f''(x)&=& (-1)x^{-2}&=& -\dfrac{1}{x^2}\\
f'''(x)&=& 2x^{-3}&=& \dfrac{2}{x^3}\\
f^{(4)}(x)&=& -6x^{-4}&=& -\dfrac{6}{x^4}
\end{eqnarray*}

La expresión del resto de orden 3 es:

$$R_3(x) = \dfrac{-6}{c^4} \dfrac{(x-1)^4}{4!}$$

$$\boxed{ R_3(x) = -\dfrac{6(x-1)^4}{c^44!} } $$