Práctica 8 ejercicio 12a

EJERCICIO 12: Considere la función $f(x)=\cos(x)$

(a) Obtenga el polinomio $P_4(x)$ de Taylor de orden 4 en $x=0$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 4 en $x=0$ es:
$$P_4(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ y $f^{(4)}(0)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \cos(x) &\longrightarrow& f(0)&=& 1 \\
f'(x)&=& -\sen(x) &\longrightarrow&f'(0)&=&0\\
f''(x)&=& -\cos(x) &\longrightarrow&f''(0)&=&-1\\
f'''(x)&=& \sen(x) &\longrightarrow&f'''(0)&=& 0\\
f^{(4)}(x)&=& \cos(x) &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 1
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P_4(x)= 1 + \dfrac{0}{1!}x +\dfrac{-1}{2!}x^2 + \dfrac{0}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 $$
$$\boxed{P(x)= 1- \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} }$$