Práctica 8 ejercicio 12b

EJERCICIO 12: Considere la función $f(x)=\cos(x)$

(b) Escriba la expresión de $R_4(\frac{1}{2})$.

Solución: como el polinomio estaba desarrollado alrededor de $x=0$, la expresión de $R_4(x)$ es:

$$R_4(x)= f^{(5)}(c)\dfrac{x^5}{5!}$$

Como $f^{(5)}(x)=-\sen(x)$, la expresión del resto es:
$$R_4(x)= -\sen(c)\dfrac{x^5}{5!}$$

Como nos piden $R_4(\frac{1}{2})$ debemos evaluar la expresión del resto en $x=\frac{1}{2}$:

$$R_4(\frac{1}{2})= -\sen(c)\dfrac{(\frac{1}{2})^5}{5!} = -\dfrac{\sen(c)}{3840}$$

$$\boxed{ R_4(\frac{1}{2})= -\dfrac{\sen(c)}{3840} }$$

donde $0 < c < \frac{1}{2}$

Nota: no confundir los valores de $x$, $x_0$ y $c$.
El valor de $x_0$ es donde está desarrollado en polinomio de Taylor (en este caso es $x_0=0$).
El valor de $x$ es donde estamos aproximando a la función mediante el polinomio de Taylor (en este caso es $x=\frac{1}{2}$).
Finalmente, $c$ es un valor desconocido que está entre $x$ y $x_0$.