Práctica 8 ejercicio 13

EJERCICIO 13: Se quiere aproximar $e^{1/3}$

(a) Utilizando el polinomio de Taylor de orden 5 en $x=0$, pruebe que el error cometido es menor que $\dfrac{1}{174960}$.

(b) ¿De qué grado hay que tomar el polinomio de Taylor para que el error que se cometa al usar dicho polinomio sea menor que $10^{-8}$?

Solución:

(a) Las derivadas de la función $f(x)=e^x$ son $f'(x)=f''(x)= \dots f^{(6)}(x)=e^x $
El resto del polinomio de Taylor de orden 5 desarrollado en $x=0$ es:
$$R_5(x)= f^{(6)}(c)\dfrac{x^6}{6!}= e^c\dfrac{x^6}{6!}$$

Si utilizamos dicho polinomio para aproximar $e^{1/3}$ entonces debemos evaluarlo en $x=\dfrac{1}{3}$ y por lo tanto el error será
$$\text{error}= \left| R_5(\dfrac{1}{3}) \right| = \left| e^c\dfrac{(\dfrac{1}{3})^6}{6!}\right|= \left| e^c\dfrac{1}{3^6 6!}\right| = e^c\dfrac{1}{3^6 6!}$$
donde $0 < c < \dfrac{1}{3}$

Como $0 < c < \dfrac{1}{3}$ entonces tenemos que $e^c < e^{1/3} < e < 3$. Dado que $e^c < 3$, multiplicando ambos miembros por $\dfrac{1}{3^6 6!}$ tenemos una cota para el error:

$$\text{error}=e^c\dfrac{1}{3^6 6!} < 3\dfrac{1}{3^6 6!} = \dfrac{1}{174960} $$

(b) El error de orden $n$ es:
$$\text{error}= \left| R_n(\dfrac{1}{3}) \right| = \left| e^c\dfrac{(\dfrac{1}{3})^{n+1}}{(n+1)!}\right| = e^c\dfrac{1}{3^{n+1} (n+1)!} < 3\dfrac{1}{3^{n+1} (n+1)!} =\dfrac{1}{3^n (n+1)!} $$
donde $0 < c < \dfrac{1}{3}$

Como el error de orden $n$ es menor que $\dfrac{1}{3^n (n+1)!}$ bastará tomar un $n$ tal que:
$$\dfrac{1}{3^n (n+1)!} < 10^{-8}$$

Probemos con varios $n$ (para $n=5$ en el item anterior calculamos el error):
\begin{eqnarray*}
\left| R_6(\dfrac{1}{3}) \right| & < &\dfrac{1}{3^6 7!} \approx 1,7\cdot 10^{-7}\\
\left| R_7(\dfrac{1}{3}) \right|& < & \dfrac{1}{3^7 8!} \approx 1,1 \cdot 10^{-8} \\
\left| R_8(\dfrac{1}{3}) \right|& < & \dfrac{1}{3^8 9!} \approx 4,2 \cdot 10^{-10}
\end{eqnarray*}

Por lo tanto para estar seguros de que el error será menor que $ 10^{-8}$ debemos tomar el polinomio de orden 8 (observar que la cota del error de orden 7 es apenas mas grande que $10^{-8}$ ).