Práctica 8 ejercicio 15

EJERCICIO 15: Considere la función $f(x)= x\text{ln}(x)$

(a) Halle el polinomio $P$ de orden 3 de $f$ en $x=1$. Escriba la expresión del resto.
(b) Estime, acotando el resto, el error que se comete al calcular $f(1,5)$ por medio de $P(1,5)$.

Solución:
(a) Para el polinomio de Taylor de orden 3 vamos a necesitar hasta la derivada tercera y para el resto necesitaremos la derivada cuarta. Para derivar debemos usar la regla del producto:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x\text{ln}(x) &\longrightarrow& f(1)&=& 0 \\
f'(x)&=& 1\cdot \text{ln}(x)+ \cancel{x}\dfrac{1}{\cancel{x}} &\longrightarrow&f'(1)&=&1\\
f''(x)&=& \dfrac{1}{x} &\longrightarrow&f''(1)&=&1\\
f'''(x)&= & -\dfrac{1}{x^2} &\longrightarrow&f'''(1)&=& -1\\
f^{(4)}(x)&=& \dfrac{2}{x^3}
\end{eqnarray*}

Por lo tanto el polinomio de Taylor de orden 3 es:

$$P(x)= f(1) + \dfrac{f'(1)}{1!}(x-1) +\dfrac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \dfrac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 $$
$$P(x)= 0 + \dfrac{1}{1!}(x-1) +\dfrac{1}{2!}(x-1)^2 + \dfrac{-1}{3!}(x-1)^3 $$
$$\boxed{ P(x)= (x-1) +\dfrac{1}{2}(x-1)^2 - \dfrac{1}{6}(x-1)^3 }$$

La expresión del resto es
$$R_3(x) = f^{(4)}(c) \dfrac{(x-1)^4}{4!}$$

$$\boxed{ R_3(x) = \dfrac{2}{c^3} \dfrac{(x-1)^4}{4!} }$$
donde $c$ está entre $x$ y $x_0=1$

(b) El error que se comete al calcular $f(1,5)$ por medio de $P(1,5)$ es:
$$\text{error}= \left| R_3(1,5) \right| = \left| \dfrac{2}{c^3} \dfrac{(1,5-1)^4}{4!} \right| = \left| \dfrac{2}{c^3} \dfrac{(0,5)^4}{4!} \right| = \dfrac{2}{c^3} \dfrac{(0,5)^4}{4!} $$

La última igualdad vale ya que $c$ es positivo porque $1 < c < 1,5$. Para acotar el error debemos tener en cuenta que $1 < c < 1,5$, por lo tanto: $$1^3 < c^3 < 1,5^3$$ $$\dfrac{1}{1^3} > \dfrac{1}{c^3} > \dfrac{1}{1,5^3}$$

Entonces el error lo podemos acotar por:
$$\text{error}= \dfrac{2}{c^3} \dfrac{(0,5)^4}{4!} < \dfrac{2}{1^3} \dfrac{(0,5)^4}{24} =\dfrac{(0,5)^4}{12}= \dfrac{1}{192}$$

$$\boxed{\text{error}= \left| R_3(1,5) \right| < \dfrac{1}{192} }$$