Práctica 8 ejercicio 2a

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(a) $f(x)=\dfrac{1}{1-x}\hspace{30pt}$ orden 5 en $x_0=0$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 5 en $x_0=0$ es:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$, $f^{(4)}(0)$ y $f^{(5)}(0)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$. Para hallar la derivada de $f$ conviene escribirla como potencia y luego utilizar la regla de la cadena:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&(1-x)^{-1} &\longrightarrow& f(0)&=& 1 \\
f'(x)&=& (1-x)^{-2} &\longrightarrow&f'(0)&=&1\\
f''(x)&=& 2(1-x)^{-3} &\longrightarrow&f''(0)&=&2\\
f'''(x)&=& 6(1-x)^{-4} &\longrightarrow&f'''(0)&=& 6\\
f^{(4)}(x)&=& 24(1-x)^{-5} &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 24\\
f^{(5)}(x)&=& 120(1-x)^{-6} &\longrightarrow&f^{(5)}(0)&=& 120
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 1 + \dfrac{1}{1!}x +\dfrac{2}{2!}x^2 + \dfrac{6}{3!}x^3 + \dfrac{24}{4!}x^4 + \dfrac{120}{5!}x^5 $$
$$\boxed{P(x)= 1+ x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 }$$