Práctica 8 ejercicio 2b

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(b) $f(x)=\sen(x)\hspace{30pt}$ orden 4 en $x_0=0$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 4 en $x_0=0$ es:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ y $f^{(4)}(0)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \sen(x) &\longrightarrow& f(0)&=& 0 \\
f'(x)&=& \cos(x) &\longrightarrow&f'(0)&=&1\\
f''(x)&=& -\sen(x) &\longrightarrow&f''(0)&=&0\\
f'''(x)&=& -\cos(x) &\longrightarrow&f'''(0)&=& -1\\
f^{(4)}(x)&=& \sen(x) &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 0
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 0 + \dfrac{1}{1!}x +\dfrac{0}{2!}x^2 + \dfrac{-1}{3!}x^3 + \dfrac{0}{4!}x^4 $$
$$\boxed{P(x)= x - \dfrac{x^3}{3!} }$$