Práctica 8 ejercicio 2d

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(d) $f(x)=\cos(x)\hspace{30pt}$ orden 5 en $x_0=0$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 5 en $x_0=0$ es:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$, $f^{(4)}(0)$, $f^{(5)}(0)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \cos(x) &\longrightarrow& f(0)&=& 1 \\
f'(x)&=& -\sen(x) &\longrightarrow&f'(0)&=&0\\
f''(x)&=& -\cos(x) &\longrightarrow&f''(0)&=&-1\\
f'''(x)&=& \sen(x) &\longrightarrow&f'''(0)&=& 0\\
f^{(4)}(x)&=& \cos(x) &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 1\\
f^{(5)}(x)&=& -\sen(x) &\longrightarrow&f^{(5)}(0)&=& 0
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 1 + \dfrac{0}{1!}x +\dfrac{-1}{2!}x^2 + \dfrac{0}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \dfrac{0}{5!}x^5$$
$$\boxed{P(x)= 1- \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} }$$