Práctica 8 ejercicio 2e

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(d) $f(x)=\text{ln}(x)\hspace{30pt}$ orden 4 en $x_0=1$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 4 en $x_0=1$ es:
$$P(x)= f(1) + \dfrac{f'(1)}{1!}(x-1) +\dfrac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \dfrac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + \dfrac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(1)$, $f'(1)$, $f''(1)$, $f'''(1)$ y $f^{(4)}(1)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \text{ln}(x) &\longrightarrow& f(1)&=& 0 \\
f'(x)&=& \dfrac{1}{x} &\longrightarrow&f'(1)&=&1\\
f''(x)&=& -\dfrac{1}{x^2} &\longrightarrow&f''(1)&=&-1\\
f'''(x)&=& \dfrac{2}{x^3} &\longrightarrow&f'''(1)&=& 2\\
f^{(4)}(x)&=& -\dfrac{6}{x^4} &\longrightarrow&f^{(4)}(1)&=& -6
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 0 + \dfrac{1}{1!}(x-1) +\dfrac{-1}{2!}(x-1)^2 + \dfrac{2}{3!}(x-1)^3 + \dfrac{-6}{4!}(x-1)^4 $$
$$\boxed{P(x)= (x-1) -\dfrac{1}{2}(x-1)^2 + \dfrac{1}{3}(x-1)^3 - \dfrac{1}{4}(x-1)^4 }$$