Práctica 8 ejercicio 2f

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(f) $f(x)=\sqrt{x}\hspace{30pt}$ orden 3 en $x_0=4$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 3 en $x_0=4$ es:
$$P(x)= f(4) + \dfrac{f'(4)}{1!}(x-4) +\dfrac{f''(4)}{2!}(x-4)^2 + \dfrac{f'''(4)}{3!}(x-4)^3 $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(4)$, $f'(4)$, $f''(4)$ y $f'''(4)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=4$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\sqrt{x} &\longrightarrow& f(4)&=& 2 \\
f'(x)&=& \dfrac{1}{2\sqrt{x}} &\longrightarrow&f'(4)&=&\dfrac{1}{4}\\
f''(x)&=& \dfrac{-1}{4\sqrt{x}^3} &\longrightarrow&f''(4)&=&\dfrac{-1}{32}\\
f'''(x)&=& \dfrac{3}{8\sqrt{x}^5} &\longrightarrow&f'''(4)&=& \dfrac{3}{256}
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 2 + \dfrac{\frac{1}{4}}{1!}(x-4) +\dfrac{\frac{-1}{32}}{2!}(x-4)^2 + \dfrac{\frac{3}{256}}{3!}(x-4)^3 $$
$$\boxed{ P(x)= 2 + \dfrac{1}{4}(x-4) -\dfrac{1}{64}(x-4)^2 + \dfrac{1}{512}(x-4)^3 }$$