Práctica 8 ejercicio 2g

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(g) $f(x)=e^x\hspace{30pt}$ orden 10 en $x_0=0$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 10 en $x_0=0$ es:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dots + \dfrac{f^{(10)}(0)}{10!}x^{10}$$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$, $f^{(4)}(0)\dots f^{(10)}(0)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&e^x &\longrightarrow& f(0)&=& 1 \\
f'(x)&=& e^x &\longrightarrow&f'(0)&=&1\\
f''(x)&=& e^x &\longrightarrow&f''(0)&=&1\\
f'''(x)&=& e^x &\longrightarrow&f'''(0)&=& 1\\
f^{(4)}(x)&=& e^x &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 1\\
\vdots& &\vdots & & \vdots & & \vdots \\
f^{(10)}(x)&=& e^x &\longrightarrow&f^{(10)}(0)&=& 1\\
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$\boxed{P(x)= 1 + \dfrac{1}{1!}x +\dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \dots + \dfrac{1}{10!}x^{10}}$$