Práctica 8 ejercicio 2h

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de $x_0$.

(h) $f(x)=(1+x)^6 \hspace{30pt}$ orden 6 en $x_0=0$.

Solución: el polinomio de Taylor de orden 6 en $x_0=0$ es:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 +\dfrac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6 $$

Para encontrar este polinomio debemos calcular $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$, $f^{(4)}(0)$, $f^{(5)}(0)$ y $f^{(6)}(0)$.
Primero buscamos todas las derivadas y luego evaluamos en $x=0$. Para hallar la derivada de $f$ conviene escribirla como potencia y luego utilizar la regla de la cadena:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&(1+x)^6 &\longrightarrow& f(0)&=& 1 \\
f'(x)&=& 6(1+x)^5 &\longrightarrow&f'(0)&=&6\\
f''(x)&=& 30(1+x)^4 &\longrightarrow&f''(0)&=& 30\\
f'''(x)&=& 120(1+x)^3 &\longrightarrow&f'''(0)&=& 120\\
f^{(4)}(x)&=& 360(1+x)^2 &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 360\\
f^{(5)}(x)&=& 720(1+x) &\longrightarrow&f^{(5)}(0)&=& 720\\
f^{(6)}(x)&=& 720 &\longrightarrow&f^{(6)}(0)&=& 720
\end{eqnarray*}


Reemplazamos estos valores y tenemos el polinomio pedido:
$$P(x)= 1 + \dfrac{6}{1!}x +\dfrac{30}{2!}x^2 + \dfrac{120}{3!}x^3 + \dfrac{360}{4!}x^4 + \dfrac{720}{5!}x^5 +\dfrac{720}{6!}x^6$$

$$\boxed{P(x)= 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6 }$$

Observación: como el polinomio de Taylor de orden $n$ de una función polinómica de grado $n$ coincide con la función, es decir, $P_n(x)=f(x)$, entonces el polinomio calculado es el desarrollo del binomio $(1+x)^6$.