Práctica 8 ejercicio 3

EJERCICIO 1: Compruebe que el polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f (x) = e^x$ es
$$P(x)= 1 + \dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3 }{3!}+ \dfrac{x^4}{4!} + \dots + \dfrac{x^{n}}{n!}$$

Solución: efectivamente, como la derivada de $f (x) = e^x$ es $f' (x) = e^x$ tenemos entonces que las derivadas de cualquier orden coinciden con la función. Al evaluar la función y todas las derivadas en $x=0$ tenemos:
$f^{(n)}(0) =1$ para todo $n$. Entonces

$$\boxed{ P(x)= 1 + \dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3 }{3!}+ \dfrac{x^4}{4!} + \dots + \dfrac{x^{n}}{n!}}$$