Práctica 8 ejercicio 4c

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones alrededor de $x=0$
(c) $f(x)=\sen(x)$

Solución: en el ejercicio 2c calculamos el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5.
Las derivadas de la función seno son:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \sen(x) &\longrightarrow& f(0)&=& 0 \\
f'(x)&=& \cos(x) &\longrightarrow&f'(0)&=& 1\\
f''(x)&=& -\sen(x) &\longrightarrow&f''(0)&=&0\\
f'''(x)&=& -\cos(x) &\longrightarrow&f'''(0)&=& -1\\
f^{(4)}(x)&=& \sen(x) &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=& 0
\end{eqnarray*}

Vemos que la derivada cuarta es igual a la función, por lo tanto a partir de aquí las derivadas se repiten cada 4. Es decir, si $n$ es múltiplo de 4 entonces la derivada de orden $n$ es $f^{(n)}(x)= \sen(x)$. Si $n$ es un múltiplo de 4 mas 1 (es decir el resto de dividir $n$ por 4 es 1) entonces la derivada será $f^{(n)}(x)= \cos(x)$, etc.
Observar que las derivadas de orden par son $\sen(x)$ o $-\sen(x)$ y al evaluar en $x=0$ nos da $0$. Las derivadas de orden impar son $\cos(x)$ o $-\cos(x)$ y al evaluar en $x=0$ darán $1$ o $-1$ alternadamente.
El polinomio de Taylor quedará (si $n$ es impar)

$$\boxed{P(x)= x- \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!}+ \cdots +(-1)^{(n-1)/2}\dfrac{x^n}{n!} }$$