Práctica 8 ejercicio 4d

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones alrededor de $x=0$
(d) $f(x)=e^{-x}$

Solución: veamos como son las derivadas de $f$:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& e^{-x}\\
f'(x)&=& -e^{-x}\\
f''(x)&=& e^{-x}\\
f'''(x)&=& -e^{-x}\\
f^{(4)}(x)&=& e^{-x}
\end{eqnarray*}

Observar que las derivadas de orden par son $f^{(n)}(x)= e^{-x}$ y si $n$ e impar entonces $f^{(n)}(x)= -e^{-x}$. Por lo tanto, cuando evaluamos en $x=0$ tenemos:
$$f^{(n)}(x)= (-1)^n$$
Entonces el polinomio de Taylor de orden $n$ en $x=0$ es:

$$\boxed{P(x)= 1 - x +\dfrac{1}{2!}x^2 - \dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 - \dots + \dfrac{(-1)^n}{n!}x^{n}}$$