Práctica 8 ejercicio 4f

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones alrededor de $x=0$
(f) $f(x)=\mathbb{cosh}(x)$

Solución: recordemos que las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico están definidas por:
$$\mathbb{senh}(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$$
$$\mathbb{cosh}(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Por lo tanto las derivadas son:
$$(\mathbb{senh}(x) )'= \mathbb{cosh}(x)$$
$$(\mathbb{cosh}(x))' = \mathbb{senh}(x)$$

Si derivamos y evaluamos en $x=0$ tenemos:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=& \mathbb{cosh}(x) &\longrightarrow& f(0)&=& 1 \\
f'(x)&=& \mathbb{senh}(x) &\longrightarrow&f'(0)&=&0\\
f''(x)&=& \mathbb{cosh}(x) &\longrightarrow&f''(0)&=&1\\
f'''(x)&=& \mathbb{senh}(x) &\longrightarrow&f'''(0)&=&0
\end{eqnarray*}

Es decir las derivadas de orden par evaluadas en 0 dan 1 y las impares dan 0. Por lo tanto el polinomio de Taylor de orden $n$ en $x=0$ es:

Si $n$ es par:

$$\boxed{ P(x)= 1 +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots + \dfrac{x^{n}}{n!}}$$

Si $n$ es impar:

$$\boxed{ P(x)= 1 +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots + \dfrac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}}$$

En este polinomio todas las potencias de $x$ son pares.