Práctica 8 ejercicio 5

EJERCICIO 5: Considere el polinomio $q(x) = x^4-8x^3-4x^2+3x-2$
(a) halle los polinomios de Taylor de $q$ en $x=0$ de órdenes 0 a 6
(b) Haga lo mismo, sin hacer cálculos para $q(x) = x^{20}+x^{19}+x^3+x^2+x+1$

Solución: calculamos las derivadas de $q$ y luego evaluamos en $x=0$:

\begin{eqnarray*}
q(x)&=& x^4-8x^3-4x^2+3x-2 &\longrightarrow& q(0)&=& -2 \\
q'(x)&=& 4x^3-24x^2-8x+3 &\longrightarrow&q'(0)&=&3\\
q''(x)&=& 12x^2-48x-8 &\longrightarrow&q''(0)&=& -8\\
q'''(x)&=& 24x-48 &\longrightarrow&q'''(0)&=& -48\\
q^{(4)}(x)&=& 24 &\longrightarrow&q^{(4)}(0)&=& 24\\
q^{(5)}(x)&=& 0 &\longrightarrow&q^{(5)}(0)&=& 0\\
q^{(6)}(x)&=& 0 &\longrightarrow&q^{(6)}(0)&=& 0
\end{eqnarray*}

Ahora armamos los polinomios de Taylor hasta orden 6:

\begin{eqnarray*}
P_0(x)&=& -2 \\
P_1(x)&=& -2+3x\\
P_2(x)&=& -2+3x-4x^2 \\
P_3(x)&=& -2+3x-4x^2-8x^3 \\
P_4(x)&=& -2+3x-4x^2-8x^3+x^4 = q(x) \\
P_5(x)&=& -2+3x-4x^2-8x^3+x^4 = q(x) \\
P_6(x)&=& -2+3x-4x^2-8x^3+x^4 = q(x)
\end{eqnarray*}

Observar que como $q$ es una función polinómica, el polinomio de Taylor de orden $k$ es igual a la suma de los términos de la función $q$ hasta la potencia $k$.

(b) Con la observación hecha el el punto anterior tenemos que los polinomios de Taylor son:

\begin{eqnarray*}
P_0(x)&=&1 \\
P_1(x)&=& x+1\\
P_2(x)&=& x^2+x+1 \\
P_3(x)&=& x^3+x^2+x+1 \\
P_4(x)&=& x^3+x^2+x+1 \\
P_5(x)&=& x^3+x^2+x+1 \\
P_6(x)&=& x^3+x^2+x+1 \\
& \vdots & \\
P_{20}(x)&=& x^{20}+x^{19}+x^3+x^2+x+1 \\
\end{eqnarray*}