Práctica 8 ejercicio 7

EJERCICIO 7: Si el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5 en $x=2$ es
$$q(x) = (x-2)^5+3(x-2)^4+3(x-2)^2-8$$
calcule
(a)$f^{(4)}(2)$ y $f^{(3)}(2)$
(b)¿Puede conocer el valor de $f^{(6)}(2)$?
(c)¿Cuánto vale $f^{(6)}(2)$ si el polinomio es de orden 7?

Solución:
(a) Aunque no sepamos cuál es la función $f$ como tenemos su polinomio de Taylor en $x=2$ podemos calcular lo que nos piden, pues en ese punto el polinomio y la función coinciden hasta la derivada quinta. Es decir:

\begin{eqnarray*}
f(2)&=&P(2)\\
f'(2)&=&P'(2)\\
f''(2)&=&P''(2)\\
f'''(2)&=&P'''(2)\\
f^{(4)}(2)&=&P^{(4)}(2)\\
f^{(5)}(2)&=&P^{(5)}(2)
\end{eqnarray*}


Las derivadas del polinomio son:

$P'(x) = 5(x-2)^4+12(x-2)^3+6(x-2)$
$P''(x) = 20(x-2)^3+36(x-2)^2+6$
$P'''(x) = 60(x-2)^2+72(x-2) $
$P^{(4)}(x) = 120(x-2)+72 $
$P^{(5)}(x) = 120 $

Evaluando el polinomio y sus derivadas en $x=2$ tenemos:

\begin{eqnarray*}
f(2)&=&P(2) &=& -8\\
f'(2)&=&P'(2) &=& 0\\
f''(2)&=&P''(2) &=& 6 \\
f'''(2)&=&P'''(2) &=& 0 \\
f^{(4)}(2)&=&P^{(4)}(2) &=& 72\\
f^{(5)}(2)&=&P^{(5)}(2) &=& 120
\end{eqnarray*}

Los valores que nos piden son: $f'''(2)=0$ y $f^{(4)}(2)=72$

Para resolver el ejercicio de esta forma tuvimos que derivar el polinomio (solo necesitábamos hasta la derivada cuarta), veamos ahora otra forma de resolverlo sin derivar.

Método 2. En este caso podemos aprovechar que el polinomio ya está expresado en potencias de $x-2$.

Sabemos que el polinomio de Taylor de orden 5 en $x=2$ es:

$$P(x) = f(2)+ \frac{f'(2)}{1!}(x - 2)+ \frac{f''(2)}{2!}(x - 2)^2+ \frac{f'''(2)}{3!}(x - 2)^3+ \frac{f^{(4)}(2)}{4!}(x - 2)^4
+ \frac{f^{(5)}(2)}{5!}(x - 2)^5$$


Entonces sabemos que el término que no tiene una potencia de $x-2$ tiene que ser $f(2)$, el coeficiente que multiplica a $(x-2)$ tiene que ser $\dfrac{f'(2)}{1!}$, el coeficiente que multiplica a $(x-2)^2$ tiene que ser $\dfrac{f''(2)}{2!}$ y así siguiendo.

Mirando cuales son estos coeficientes en el polinomio del ejercicio tenemos que: $f'''(2)=0$ ya que no aparece un término con $(x-2)^3$ y $\dfrac{f^{(4)}(2)}{4!} = 3$ (es el coeficiente de $(x-2)^4$. Despejando tenemos: $f^{(4)}(2)=3\cdot 4!=72$.


(b) Como el polinomio es de orden 5 no podemos conocer el valor de $f^{(6)}(2)$.

(c) Si el polinomio fuera de orden 7 entonces como no aparece $(x-2)^6$ significa que el coeficiente es 0: $\dfrac{f^{(6)}(2)}{6!} = 0$, entonces $f^{(6)}(2)=0$.