Práctica 8 ejercicio 16

EJERCICIO 16:¿Cuántos términos es suficiente tomar en el desarrollo de Taylor en $x=0$ de $f(x)= e^x$ para obtener un polinomio que aproxime a dicha función en todo el intervalo $[-1,1]$ con un error menor que $10^{-4}$? Use el polinomio hallado para hallar las tres primeras cifras decimales del número $e$.


Solución: En este ejercicio nos dicen que el error tiene que ser menor que $10^{-4}$ para todos los $x$ en el intervalo $[-1,1]$ y debemos encontrar el orden del polinomio de Taylor.
Sabemos que $f(x)= e^x = P_n(x) + R_n(x)$ y
$$R_n(x)= f^{n+1}(c)\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$

Como $ f^{n+1}(x)=e^x$, el error de orden $n$ será:
$$\text{error}= \left| R_n(x) \right|= \left| e^c\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|$$
donde $c$ está entre $x$ y $x_0=0$. Como $x\in [-1,1]$ entonces $c$ también estará en este intervalo y podemos acotar de la siguiente forma: $\left| x^{n+1} \right| \leq 1 $
Dado que $e^x$ es creciente, el valor más grande que puede tomar $e^c$ siendo $c\in (-1,1)$ será: $e^c < e^1 < 3$. Por lo tanto podemos acotar el error de la siguiente forma: $$\text{error}= \left| e^c\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right| < 3 \dfrac{1}{(n+1)!}$$ Para que el error sea menor que $10^{-4}$ bastará tomar $n$ de forma tal que $3 \dfrac{1}{(n+1)!} < 10^{-4}$ (ya que el error es menor aún que dicha expresión). Es decir: $$3 \dfrac{1}{ 10^{-4}} = 30.000 < (n+1)!$$ Probando con varios valores de $n$ llegamos a que para $n=7$ $$3 \dfrac{1}{ 10^{-4}} = 30.000 < (7+1)! = 8! = 40.320 $$ Basta tomar $n=7$, es decir el polinomio tendrá 8 términos. El polinomio de Taylor en $x=0$ de orden $7$ es (ver ejercicio 3):

$$P(x)= 1 + \dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3 }{3!}+ \dfrac{x^4}{4!} + \dots + \dfrac{x^{7}}{7!}$$

Dado que este polinomio aproxima a $e^x$ con un error menor a $10^{-4}$ para cualquier $x$ en el intervalo $[-1,1]$ (en particular para $x=1$), entonces la diferencia entre $e^1=e$ y $P_7(1)$ estará recién en el cuarto decimal, es decir, al evaluar este polinomio en $x=1$ nos dará una aproximación del número $e$ con los tres primeros decimales exactos.

$$P(1)= 1 + \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1^2}{2!} + \dfrac{1^3 }{3!}+ \dfrac{1^4}{4!} + \dots + \dfrac{1^{7}}{7!}$$
$$P(1)= 1 + \dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1 }{6}+ \dfrac{1}{24} + \dots + \dfrac{1}{5040}$$
$$P(1)= 1 + 1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1 }{6}+ \dfrac{1}{24} + \dots + \dfrac{1}{5040}\approx 2,718254$$

Con la estimación que habíamos hecho del error podíamos garantizar que $P_7(1)$ coincidiría con las cifras de $e$ por lo menos hasta el tercer decimal. Si comparamos el resultado veremos que en realidad coinciden hasta el cuarto decimal.