Práctica 8 ejercicio 18

EJERCICIO 18: ¿Para qué valores de $x$ la diferencia entre
(a) $\cos (x)$ y $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}$ es menor que $5\cdot 10^{-5}$?
(b) $\sen (x)$ y $x$ es menor que $10^{-3}$?

Solución:
(a) Como vimos en el ejercicio 2d el polinomio $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}$ es el polinomio de Taylor de orden 5 (en este caso coincide con el de orden 4) de $\cos(x)$. Por lo tanto $\cos (x) - (1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}) =R_5(x)$.

La pregunta entonces es: ¿para qué valores de $x$ vale $R_5(x) < 5\cdot 10^{-5}$ ?

Dado que $f^{(6)}(x) = -\cos(x)$, sabemos que el resto de orden 5 es:
$$R_5(x)= f^{(6)}(c) \dfrac{x^6}{6!} = -\cos(c) \dfrac{x^6}{6!}$$

Como $|-\cos(c)| \leq 1 $, tenemos que:
$$\left|R_5(x)\right|= \left|-\cos(c) \dfrac{x^6}{6!}\right| \leq \dfrac{|x|^6}{6!}$$

Por lo tanto, si $ \dfrac{|x|^6}{6!} < 5\cdot 10^{-5}$ el error también será menor que $5\cdot 10^{-5}$:
$$ \dfrac{|x|^6}{6!} < 5\cdot 10^{-5} \iff |x|^6 < 5\cdot 10^{-5}\cdot 6! \iff |x| < \sqrt[6]{5\cdot 10^{-5}\cdot 6!}\approx 0,57$$

Entonces podemos asegurar que la diferencia será menor que $5\cdot 10^{-5}$ para $x\in (-0.57 , 0.57)$.
Si hubiésemos utilizado el polinomio como el polinomio de orden 4 entonces hubiésemos llegado a la conclusión de que para $x\in (-0.36 , 0.36)$ la diferencia es menor que $5\cdot 10^{-5}$ (que también es válido).

(b) En este caso $x$ es el polinomio de Taylor de orden 1 de $\sen(x)$ en $x=0$ pero también es el polinomio de orden 2. Si pensamos que es el polinomio de orden 2, entonces la diferencia entre $\sen (x)$ y $x$ es:
$$R_2(x)= f'''(c) \dfrac{x^3}{3!} = -\cos(c) \dfrac{x^3}{3!}$$
$$\left|R_2(x)\right|= \left|-\cos(c) \dfrac{x^3}{3!}\right| \leq \dfrac{|x|^3}{3!}$$

$$ \dfrac{|x|^3}{3!} < 10^{-3} \iff |x|^3 < 10^{-3} \cdot 3! \iff |x| < 10^{-1}\sqrt[3]{6}\approx 0.18$$

Entonces podemos asegurar que la diferencia será menor que $10^{-3}$ para $x\in (-0.18 , 0.18)$.