Práctica 8 ejercicio 14

EJERCICIO 14:Utilice el polinomio de Taylor de orden 4 en $x=0$ para aproximar el valor de $\sen(0,25)$ y dar una cota para el error que se ha cometido al tomar esa aproximación.

Solución: en el ejercicio 2b calculamos el polinomio de Taylor de orden 4 en $x=0$ de $f(x)=\sen(x)$. Vimos que este polinomio es:
$$P(x)= x - \dfrac{x^3}{3!} $$

Observar que el polinomio es de grado 3 pero es el polinomio Taylor de orden 4.
Sabemos que $f(0,25)= \sen(0,25) \approx P(0,25)$, entonces una aproximación de $\sen(0,25)$ es:
$$P(0,25)= 0,25 - \dfrac{0,25^3}{3!} \approx 0,2473958$$
Para estimar el error cometido necesitamos la derivada quinta de la función: $f^{(5)}(x)=\cos(x)$.

El error es:
$$\text{error}= \left| R_4(0,25) \right| = \left| f^{(5)}(c)\dfrac{0,25^5}{5!} \right|=\left| \cos(c)\dfrac{0,25^5}{5!} \right|$$
donde $0 < c < 0,25$.

Dado que $\left| \cos(c)\right| \leq 1$ tenemos que el error lo podemos acotar por:
$$\text{error}=\left| \cos(c)\right| \dfrac{0,25^5}{5!} \leq \dfrac{0,25^5}{5!} \approx 8,1\cdot 10^{-6}$$