Práctica 8 ejercicio 4a

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones alrededor de $x=0$
(a) $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$

Solución: en el ejercicio 2a calculamos el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5. Siguiendo con el mismo razonamiento podemos ver que la derivada $n$-ésima de $f$ es:
$$f^{(n)}(x)= n!(1-x)^{-(n+1)} = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$$

Si evaluamos las derivadas en $x=0$: $f^{(n)}(0)= n!$

Por lo tanto el polinomio de orden $n$ en $x=0$ será:
$$P(x)= f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x +\dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$$

$$P(x)= 1 + \dfrac{1}{1!}x +\dfrac{2!}{2!}x^2 + \dfrac{3!}{3!}x^3 + \dfrac{4!}{4!}x^4 + \dots + \dfrac{n!}{n!}x^{n}$$

$$\boxed{P(x)= 1 + x +x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^{n}}$$

O también se puede escribir:

$$\boxed{P(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} x^k }$$