Práctica 8 ejercicio 4e

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones alrededor de $x=0$
(e) $f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$

Solución: Si empezamos a derivar podemos ver que las derivadas se van complicando cada vez mas. Este ejercicio lo podemos resolver fácilmente utilizando un pequeño truco. Vamos a usar la siguiente propiedad:

Propiedad: Si $P$ es el polinomio de Taylor de orden $n$ en $x_0$ de una función $f_1$ y $Q$ es el polinomio de Taylor de orden $n$ en $x_0$ de $f_2$, entonces $P+Q$ es el polinomio de Taylor de orden $n$ en $x_0$ de $f_1+f_2$

Esta propiedad vale porque la derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas.

Ahora si escribimos a la función $f$ de la siguiente forma:
$$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2} = \dfrac{1}{(1-x)(1+x)} = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x}\right]$$

El polinomio de Taylor de $\dfrac{1}{1-x}$ lo calculamos en el ejercicio 4a. El polinomio de Taylor $\dfrac{1}{1+x}$ se puede calcular en forma similar y es el siguiente:

$$ 1 - x +x^2 - x^3 + x^4 - \dots + (-1)^n x^{n}$$

Por lo tanto el polinomio de Taylor de $f$ queda de la siguiente forma:

$$P(x)= \dfrac{1}{2}\left[( 1 + x +x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^{n}) + (1 - x +x^2 - x^3 + x^4 - \dots + (-1)^n x^{n})\right]$$

Si $n$ es par el polinomio queda:
$$P(x)= 1 +x^2 + x^4 + \dots + x^{n}$$

Si $n$ es impar:
$$P(x)= 1 +x^2 + x^4 + \dots + x^{n-1}$$

Observar que todas las potencias son pares.