Práctica 8 ejercicio 4h

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones alrededor de $x=0$
(h) $f(x)=\mathbb{ln}(1+x)$

Solución: en el ejercicio 1 hallamos el polinomio de Taylor de orden 3 de esta función. Si seguimos el razonamiento:

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\text{ln}(x +1) &\longrightarrow& f(0)&=& 0 \\
f'(x)&=& \dfrac{1}{x+1} &\longrightarrow&f'(0)&=&1\\
f''(x)&=& -\dfrac{1}{(x+1)^2} &\longrightarrow&f''(0)&=&-1\\
f'''(x)&=& \dfrac{2}{(x+1)^3} &\longrightarrow&f'''(0)&=&2\\
f^{(4)}(x)&=& \dfrac{2\cdot (-3)}{(x+1)^4} &\longrightarrow&f^{(4)}(0)&=&-6
\end{eqnarray*}


Podemos deducir que la derivada de orden $n$ es: $f^{(n)}(x)= \dfrac{(-1)^{n+1} (n-1)!}{(x+1)^n}$
Evaluada en $x=0$ queda: $f^{(n)}(x)= (-1)^{n+1} (n-1)!$

Por lo tanto el polinomio de Taylor es:

$$\boxed{ P(x)= x -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4+ \cdots + \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n }$$