Práctica 8 ejercicio 8a

EJERCICIO 8: Si el polinomio de Taylor de $f$ de orden 2 en $x=5$ es
$$P(x) = 3-(x-5)+9(x-5)^2$$

(a) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en $x=1$ de $g(x)=\dfrac{2}{4-f(5x)}$


Solución: como tenemos el polinomio de Taylor de orden 2 de $f$ en $x=5$ entonces podemos calcular los valores de $f(5)$, $f'(5)$ y $f''(5)$. (Si no sabés como hacerlo podés mirar el ejercicio anterior). Estos valores son:
\begin{eqnarray*}
f(5)&=& 3 \\
f'(5)&=& -1 \\
f''(5)&=&18
\end{eqnarray*}

Si llamamos $Q$ al polinomio de Taylor de orden 2 en $x=1$ de $g$, entonces:
$$Q(x) = g(1) + g'(1)(x-1) + \dfrac{g''(1)}{2!}(x-1)^2 $$

Calculemos entonces $g$, $g'$ y $g''$ y luego las evaluamos en $x=1$:
\begin{eqnarray*}
g(x)&=& 2(4-f(5x))^{-1} \\
g'(x)&=& -2(4-f(5x))^{-2}(-f'(5x)\cdot 5)= 10f'(5x)\cdot(4-f(5x))^{-2} \\
g''(x)&=& 10f''(5x)5(4-f(5x))^{-2}+ 10f'(5x)(-2)(4-f(5x))^{-3}(-f'(5x)5) \\
&=& 50f''(5x)(4-f(5x))^{-2}+ (10f'(5x))^2(4-f(5x))^{-3}
\end{eqnarray*}

Para calcular $g(1)$ vamos a necesitar el valor de $f(5)$ que calculamos anteriormente:
$$g(1)=\dfrac{2}{4-f(5\cdot 1)}=\dfrac{2}{4-f(5)} = \dfrac{2}{4-3}=2 $$
$$\boxed{g(1)= 2}$$

Para calcular $g'(1)$ vamos a necesitar los valores de $f(5)$ y $f'(5)$ que calculamos anteriormente:
$$g'(1)=10f'(5\cdot 1)\cdot(4-f(5\cdot 1))^{-2}= 10f'(5)\cdot(4-f(5))^{-2}=10\cdot(-1)\cdot(4-3)^{-2}= -10$$
$$\boxed{g'(1)= -10}$$

Para calcular $g''(1)$ vamos a necesitar los valores de $f(5)$, $f'(5)$ y $f''(5)$ que calculamos anteriormente:
$$g''(1)=50f''(5\cdot 1)(4-f(5\cdot 1))^{-2}+ (10f'(5\cdot 1))^2(4-f(5\cdot 1))^{-3}=$$
$$=50f''(5)(4-f(5))^{-2}+ (10f'(5))^2(4-f(5))^{-3} = 50\cdot 18 \cdot (4-3)^{-2}+ (10(-1))^2(4-3)^{-3}=$$
$$=900+ 100=1000$$

$$\boxed{g''(1)= 1000}$$

Entonces:
$$Q(x) = g(1) + g'(1)(x-1) + \dfrac{g''(1)}{2!}(x-1)^2 $$
$$Q(x) = 2 -10 (x-1) + \dfrac{1000}{2!}(x-1)^2 $$
$$\boxed{Q(x)= 2 -10 (x-1) + 500(x-1)^2 } $$