Práctica 8 ejercicio 8b

EJERCICIO 8: Si el polinomio de Taylor de $f$ de orden 2 en $x=5$ es
$$P(x) = 3-(x-5)+9(x-5)^2$$

(b) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en $x=5$ de $h(x)=(1+x^2)f(x)$


Solución: en el item anterior vimos que los valores de $f$ y sus derivadas en $x=5$ son:
\begin{eqnarray*}
f(5)&=& 3 \\
f'(5)&=& -1 \\
f''(5)&=&18
\end{eqnarray*}

Si llamamos $T$ al polinomio de Taylor de orden 2 en $x=5$ de $h$, entonces:
$$T(x) = h(5) + h'(5)(x-5) + \dfrac{h''(5)}{2!}(x-5)^2 $$

Calculamos las derivadas de $h$ utilizando la regla del producto para derivar:
$$h(x)=(1+x^2)f(x)$$
$$h'(x)=2xf(x)+ (1+x^2)f'(x)$$
$$h''(x)=2f(x)+2xf'(x)+ 2xf'(x)+ (1+x^2)f''(x) = 2f(x)+ 4xf'(x)+ (1+x^2)f''(x) $$

Evaluando en $x=5$ y utilizando los valores de $f(5)$, $f'(5)$ y $f''(5)$ calculados mas arriba:
$$h(5)=(1+5^2)f(5) = 26\cdot 3 = 78$$
$$h'(5)=2\cdot 5\cdot f(5)+ (1+5^2)f'(5) = 10\cdot 3 + 26\cdot (-1) = 4$$
$$h''(x)= 2f(5)+ 4\cdot 5\cdot f'(5)+ (1+5^2)f''(5) = 2\cdot 3 + 20\cdot (-1) + 26 \cdot 18 = 454$$

Entonces:
$$T(x) = h(5) + h'(5)(x-5) + \dfrac{h''(5)}{2!}(x-5)^2 $$
$$T(x) = 78 +4 (x-5) + \dfrac{454}{2!}(x-5)^2 $$
$$\boxed{T(x)= 78 +4 (x-5) + 227(x-5)^2 } $$