Práctica 8 ejercicio 9

EJERCICIO 9: Los polinomios de Taylor de orden 4 en $x=2$de las funciones $f$ y $g$ son, respectivamente

$$P(x) = -2+3(x-2)-3(x-2)^2+(x-2)^3$$
$$Q(x) = 5+12(x-2)+(x-2)^2-7(x-2)^4$$

Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de $t(x)=f(x)g(x)$ y $s(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ en $x=2$

Solución: en el ejercicio 7 vimos como calcular los valores de una función y sus derivadas a partir de su polinomio de Taylor. En este caso, como tenemos los polinomios de Taylor de $f$ y $g$ de orden 4 en $x=2$ podemos calcular los valores de $f(2)$, $f'(2)$, $f''(2)$, $f'''(2)$, $f^{(4)}(2)$, $g(2)$, $g'(2)$, $g''(2)$, $g'''(2)$ y $g^{(4)}(2)$. Estos valores son:

\begin{eqnarray*}
f(2)&=& -2 \\
f'(2)&=& 3 \\
f''(2)&=&-6\\
f'''(2)&=&6\\
f^{(4)}(2)&=&0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
g(2)&=& 5 \\
g'(2)&=& 12 \\
g''(2)&=&2\\
g'''(2)&=&0\\
g^{(4)}(2)&=&-168
\end{eqnarray*}

El polinomio de Taylor de orden 2 de $t(x)=f(x)g(x)$ en $x=2$ será:
$$T(x)= t(2) + \dfrac{t'(2)}{1!}(x-2) +\dfrac{t''(2)}{2!}(x-2)^2 $$

Calculemos las derivadas de $t$ para luego evaluar en $x=2$.
\begin{eqnarray*}
t(x)&=& f(x)g(x) \\
t'(x)&=& f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\
t''(x)&=&f''(x)g(x)+f'(x)g'(x) + f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)\\
&=&f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)\\
\end{eqnarray*}

Para evaluar $t$ y sus derivadas en $x=2$ necesitamos los valores de $f(2)$,$f'(2)$, $f''(2)$, $g(2)$, $g'(2)$ y $g''(2)$ calculados mas arriba.

\begin{eqnarray*}
t(2)&=& f(2)g(2) &=& (-2)\cdot 5 &=&-10\\
t'(2)&=& f'(2)g(2) + f(2)g'(2)&=& 3\cdot 5 + (-2)\cdot 12 &=&-9 \\
t''(2)&=& f''(2)g(2)+2f'(2)g'(2) + f(2)g''(2)&=& (-6)\cdot 5 +2\cdot 3 \cdot 12 + (-2)\cdot 2 &=& 38
\end{eqnarray*}

Por lo tanto el polinomio de Taylor de orden 2 de $t(x)$ en $x=2$ es:
$$T(x)= -10 + \dfrac{(-9)}{1!}(x-2) +\dfrac{38}{2!}(x-2)^2 $$
$$\boxed{T(x)= -10 -9(x-2) +19(x-2)^2 }$$

Ahora hacemos algo similar para hallar el polinomio de Taylor de $s(x)$. Primero calculamos las derivadas de $g$ utilizando la regla del cociente:

\begin{eqnarray*}
s(x)&=& \dfrac{f(x)}{g(x)} \\
s'(x)&=& \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \\
s''(x)&=&\dfrac{[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]'g^2(x) - [f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]2g(x)g'(x)}{[[g(x)]^2]^2} \\
&=&\dfrac{[f''(x)g(x)+\cancel{f'(x)g'(x)}-\cancel{f'(x)g'(x)}-f(x)g''(x)]g^2(x) - [f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]2g(x)g'(x)}{[g(x)]^4}\\
&=&\dfrac{[f''(x)g(x)-f(x)g''(x)]g^2(x) - [f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]2g(x)g'(x)}{[g(x)]^4}
\end{eqnarray*}

Evaluando en $x=2$:

\begin{eqnarray*}
s(2)&=& -\dfrac{2}{5} \\
s'(2)&=& \dfrac{39}{25} \\
s''(2)&=&\dfrac{-1066}{125}
\end{eqnarray*}

Por lo tanto el polinomio de Taylor de orden 2 de $s(x)$ en $x=2$ es:
$$S(x)= -\dfrac{2}{5} + \dfrac{\dfrac{39}{25}}{1!}(x-2) +\dfrac{\dfrac{-1066}{125}}{2!}(x-2)^2 $$
$$\boxed{S(x)= -\dfrac{2}{5}+\dfrac{39}{25}(x-2) -\dfrac{533}{125}(x-2)^2 }$$