Práctica 8 ejercicio 12d

EJERCICIO 12: Considere la función $f(x)=\cos(x)$

(d) Teniendo en cuenta que $|\sen(c)|\leq 1$, pruebe que $\left| R_4(\frac{1}{2})\right| \leq \dfrac{1}{2^5 6!} < 0,0003$. Compare con (c)

Solución: en el item (b) calculamos la expresión del resto $R_4(\frac{1}{2})$. Recordemos que el módulo del resto es el error que se comete al aproximar a función por medio del polinomio de Taylor. En este ejercicio nos están pidiendo que probemos que error que se comete en esta aproximación es menor que $0,0003$. Como el error depende de un valor desconocido $c$, no podremos saber exactamente cual es este error (salvo que usemos la calculadora para evaluar la función y el polinomio, como hicimos en el item (c)). Entonces lo mejor que podremos hacer es dar una cota superior para el error, lo cual nos garantiza que en el peor de los casos el error no será mayor que esta cota.

$\left| R_4(\frac{1}{2})\right|= \left|-\dfrac{\sen(c)}{3840} \right| = \dfrac{\left|\sen(c)\right|}{3840} $

Dado que $|\sen(c)|\leq 1$, si dividimos ambos miembros por $3840$ (la desigualdad no cambia porque es positivo) tenemos que:
$$\dfrac{\left|\sen(c)\right|}{3840} \leq \dfrac{1}{3840}= 0.000260416667$$

Por lo tanto:
$\left| R_4(\frac{1}{2})\right|= \left|-\dfrac{\sen(c)}{3840} \right| = \dfrac{\left|\sen(c)\right|}{3840} \leq \dfrac{1}{3840} = 0.000260416667 < 0.0003 $

Es decir, en el peor de los casos el error no puede ser mayor a 0.0003. De hecho, en el item anterior probamos que este error es bastante menor: 0.00002.